超立方体的线性 $d$-多色 $Q_{d-1}$-染色

设 $n \ge d \ge \ell \ge 1$ 为整数，记 $n$ 维超立方体为 $Q_n$。对 $Q_n$ 中 $\ell$ 维子立方体 $Q_\ell$ 的染色称为 $Q_\ell$-染色。若 $Q_n$ 中每个 $Q_d$ 都包含每种颜色的 $Q_\ell$，则称该染色为 $d$-多色。本文考虑一类特定的称为线性的 $Q_\ell$-染色。给定 $\ell$ 和 $d$，令 $p_{lin}^\ell(d)$ 为最大颜色数，使得对所有 $n \ge d$ 存在 $Q_n$ 的 $d$-多色线性 $Q_\ell$-染色。我们证明对所有 $d \ge 3$，有 $p_{lin}^{d-1}(d) = 2$。此外，通过计算机搜索，我们确定了某些特定 $\ell$ 和 $d$ 值下的 $p_{lin}^\ell(d)$，在部分情形改进了先前已知的低界。