$\mathbb{Z}^d$ 上正常染色的刚性

$\mathbb{Z}^d$ 中区域上的正常 $q$-染色是指为区域中每个顶点分配 $q$ 种颜色之一，使得相邻顶点颜色不同的函数。均匀随机采样一个正常 $q$-染色，该染色是否典型地表现出长程有序？自 Dobrushin 的工作以来已知，当 $q$ 相对于 $d$ 较大时不会出现此类有序。我们在此证明，当 $d$ 足够大时，对每个 $q$ 都会出现长程有序，并进一步刻画了该模型所有周期极大熵 Gibbs 态。还表明，若用 $\mathbb{Z}^{d_1}\times\mathbb{T}^{d_2}$（其中 $d_1\ge 2$，$d=d_1+d_2$ 足够大且 $\mathbb{T}$ 为偶长度圈）替代晶格 $\mathbb{Z}^d$，则在低维也会出现有序。这些结果解决了可追溯到 Berker--Kadanoff (1980)、Koteck\'y (1985) 和 Salas--Sokal (1997) 的问题。