离散环面 3-着色的刚性

我们证明了当维度 $d$ 足够高时，均匀选取的 $d$ 维离散环面的正常 $3$-着色具有非常刚性的结构。我们以高概率表明，该着色在几乎整个偶子环面或奇子环面上仅取一种颜色。特别地，一种颜色出现在近一半的环面格点上。该模型对应于统计物理学中 $3$ 态反铁磁 Potts 模型的零温情形。我们的工作扩展了先前针对具有特定边界条件的离散环面所获得的结果。此扩展的主要挑战在于克服模型未施加边界条件时出现的某些拓扑障碍。局部而言，正常的 $3$-着色定义了一个整数值高度函数的离散梯度，该梯度在相邻格点间恰好变化为 1。然而，这些局部定义的函数并不总能给出整个环面上的高度函数，因为绕环面环绕时梯度可能会累积成非零量。我们的主要结果是，在高维情况下，全局高度函数以高概率良定义，从而可以从先前已知的结果推导出着色的刚性结构。此外，梯度累积成向量 $m$（对应于 $d$ 个方向上的环绕）的概率至多是 $\|m\|_\infty$ 与环面横截面积乘积的指数小量。在证明过程中，我们发展了代数拓扑概念的离散类比。该理论具有一定的普遍性，可用于研究其他模型。