高维近临界渗流与环面平台区

我们考虑在 $\mathbb{Z}^d$ 和 $d$ 维离散环面上的渗流，其中最近邻模型维度 $d \ge 11$，扩展模型维度 $d>6$。对于 $\mathbb{Z}^d$，我们运用广泛的技术与已有结果证明，存在正常数 $c$ 和 $C$，使得略微次临界的两点函数与单臂概率满足 $$\mathbb{P}_{p_c-\varepsilon}(0 \leftrightarrow x) \leq \frac{C}{\|x\|^{d-2}} e^{-c\varepsilon^{1/2} \|x\|} \quad \text{ 且 } \quad \frac{c}{r^{2}} e^{-C \varepsilon^{1/2}r} \leq \mathbb{P}_{p_c-\varepsilon}\Bigl(0 \leftrightarrow \partial [-r,r]^d \Bigr) \leq \frac{C}{r^2} e^{-c \varepsilon^{1/2}r}.$$ 由此我们证明，在整个临界窗口内，环面两点函数具有一个“平台区”，即它对小的 $x$ 按 $\|x\|^{-(d-2)}$ 衰减，而对大的 $x$ 则基本为常数且量级为 $V^{-2/3}$，其中 $V$ 为环面体积。两点函数的平台区立即导出环面三角条件的证明，该条件已知对环面上的临界行为有许多推论，并且也导出环面与 $\mathbb{Z}^d$ 上临界值相差 $V^{-1/3}$ 的倍数之证明。环面三角条件与临界点分离的大小此前已有证明，但我们的证明不同且是 $\mathbb{Z}^d$ 两点函数上界的直接推论。特别地，我们使用了由 $\mathbb{Z}^d$ 上花边展开导出的结果，但与以往高维环面渗流工作不同，我们不需要也未使用单独的环面花边展开。