逐点两点函数估计与长程渗流平均场临界行为的非微扰证明

在 $\mathbb{Z}^d$ 上的长程渗流模型中，我们以概率 $1-\exp(-\beta\|x-y\|^{-d-\alpha})$ 独立随机地用边连接任意一对不同的点 $x$ 和 $y$，其中 $\alpha>0$ 固定，$\beta\geq 0$ 为参数。在先前的一篇论文中，我们证明了若 $0<\alpha<d$，则临界两点函数满足空间平均上界 $$\frac{1}{r^d}\sum_{x\in [-r,r]^d} \mathbb{P}_{\beta_c}(0\leftrightarrow x) \preceq r^{-d+\alpha}$$ 对所有 $r\geq 1$ 成立。该上界被认为在 $\alpha$ 严格小于交叉值 $\alpha_c(d)$ 时是尖锐的，且 B"aumler 和 Berger (AIHP 2022) 已证明了 $\alpha<1$ 时的匹配下界。在本文中，我们在 $\alpha<1$ 的相同假设下证明了同阶的逐点上下界。我们还在相同假设下证明了略低于临界状态的两点函数的双侧逐点估计，在低于关联长度时的 $\| x \|^{-d+\alpha}$ 衰减与高于关联长度时的 $\| x \|^{-d-\alpha}$ 衰减之间进行插值。在 $d=1,2,3$ 维中，我们推得在 $0<\alpha<d/3$ 的最小假设下三角条件成立。尽管该结果此前已在附加微扰假设下利用花边展开得到证明，但我们的证明是完全非微扰的，且不以任何方式依赖于花边展开。在 $1$ 维和 $2$ 维中，我们的结果还处理了 $\alpha=d/3$ 的临界情形，表明三角图至多对数发散，从而平均场临界行为在多对数因子范围内成立。