Z^d 上 3-着色模型中的相共存与迟缓混合

我们证明，对于所有足够大的 d，Z^d 上的均匀正常 3-着色模型（在物理学中称为零温下的 3 态反铁磁 Potts 模型）允许多个最大熵 Gibbs 测度。这是以下组合结果的推论：如果从 Z^d 中的一个盒子中均匀选择一个正常 3-着色，并给定盒子上所有与盒内固定顶点 v 距离为奇数的边界顶点颜色为 0，则 v 获得颜色 0 的概率关于 d 呈指数级小。证明过程通过分析某种将 v 与盒子边界分离的割集进行，并建立在 Galvin 和 Kahn 证明 Z^d 上硬芯模型相变所开发的技术之上。基于这些技术，我们进一步研究了用于采样离散环面 Z^d_n 上正常 3-着色的局部 Markov 链。我们证明存在一个常数 \rho \approx 0.22，使得对于所有偶数 n \geq 4 且 d 足够大，如果 M 是定义在 Z^d_n 的正常 3-着色集合上的 Markov 链，其每一步最多更新 \rho n^d 个顶点的颜色且平稳分布为均匀分布，那么 M 的混合时间（即 M 从任意着色开始达到接近均匀分布所需的时间）本质上关于 n^{d-1} 呈指数级。