平面随机簇与Potts模型在$1\le q\le4$时相变的连续性

本文研究平面 Potts 模型及其随机簇表示。我们证明，在 $\mathbb Z^2$ 上最近邻铁磁性 $q$ 态 Potts 模型对于 $q\in\{2,3,4\}$ 的相变是连续的，其意义在于存在唯一的 Gibbs 态，或者等价地，具有单色边界条件的临界 Gibbs 态没有有序化。证明使用簇权 $q\ge1$ 的随机簇模型（注意 $q$ 不一定为整数）并基于两个要素：1. 自由态的两点函数在簇权 $1\le q\le 4$ 时以亚指数速度衰减，这是通过研究离散 Riemann 曲面上的 parafermionic 观测值得到的。2. 一个证明临界随机簇模型若干性质等价性的新结果：- 连线边界条件下无无限簇，- 无限体积测度的唯一性，- 自由边界条件下两点函数的亚指数衰减，- 任意边界条件矩形交叉概率的 Russo-Seymour-Welsh 型结果。该结果导致了一系列关于簇权 $1\le q \le 4$ 随机簇模型标度极限的结论。它表明在取标度极限时界面族（例如对于 Dobrushin 边界条件）是紧的，且任何子序列极限可由 Loewner 链参数化。我们还研究了边界条件对这些子序列极限的影响。让我们提及该结果也应有助于临界指数的研究。