具有凸多面体边界的双曲尖点的Gauss像

我们证明，一个具有凸多面体边界的3维双曲尖点由其Gauss像唯一确定。此外，环面上任何具有负曲率锥奇点且所有闭可缩测地线长度大于$2\pi$的球面度量，都是某个凸多面体尖点的Gauss像的度量。这一结果是Rivin-Hodgson定理的类比，后者用Gauss像刻画了紧致凸双曲多面体。证明使用了变分法。具体而言，具有给定Gauss像的尖点被识别为某个泛函在沿一族半射线具有锥型奇点的尖点空间上的临界点。该泛函被证明是凹的，并在其定义域的内点达到最大值。作为副产品，我们证明了对于有或没有锥型奇点的尖点，关于Gauss像的刚性结论。在一种特殊情形下，我们的定理等价于环面上具有指定组合结构和交角的圆模式的存在性。这是Thurston定理的亏格一情形。事实上，我们的定理以与Rivin-Hodgson定理推广Andreev关于具有非钝二面角的紧致凸多面体的定理相同的方式，推广了Thurston定理。证明中使用的泛函是体积项和曲率项之和。我们证明，在Thurston定理的情形下，该泛函是Chow和Luo所考虑的Ricci流的势函数。我们的定理代表了关于紧致曲面等距浸入的一般性陈述的最后一个特例。