具有多面体类型边界的双曲三维流形

设 $M$ 为紧致可定向三维流形，其内部可双曲化且边界非空，使得所有边界分支的亏格至少为 2。我们研究 $\partial M$ 上凸双曲锥度量的一类 Alexandrov-Weyl 型问题。我们考虑 $M$ 上带凸边界的双曲度量类，称之为弯曲度量，其自然地推广了 $M$ 上带凸多面体边界的双曲度量。我们证明对 $\partial M$ 上每个凸双曲锥度量 $d$（除少数简单例外），存在 $M$ 上的弯曲度量使得 $\partial M$ 上诱导的内蕴度量为 $d$。进而，我们证明若弯曲实现是我们所称可控多面体的，则其在同痕意义下唯一。我们给出 $\partial M$ 上称为平衡的凸双曲锥度量的一个大子类，其在 Lipschitz 拓扑意义下于所有凸双曲锥度量中开且稠，并证明其弯曲实现是可控多面体的。我们另证明 $\partial M$ 上凸双曲锥度量的任意凸实现皆为弯曲的。最后，我们推得存在 $M$ 内部凸余紧度量空间的一个开子集，包含所有具有多面体凸核的度量，使得该子集中的度量（1）关于其凸核边界上诱导的内蕴度量全局刚性；（2）关于其弯曲叶状结构无穷小刚性。这给出了对 W. Thurston 猜想的部分进展。