关于双曲空间与反德西特空间中完备曲面的Weyl问题

经典Weyl问题（由Lewy、Alexandrov、Pogorelov等人解决）询问球面上任何曲率K≥0的度量是否由R^3中唯一凸体边界所诱导。Alexandrov在1950年代将答案推广到双曲空间中的曲面，后来证明了描述凸体通过其边界第三基本形式（例如理想多面体的二面角）的“对偶”表述。我们描述了HH^3中Weyl问题及其对偶问题向无界凸子集和凸曲面的三个推测性推广，其方式与当代几何相关，因为若干近期结果和著名开放问题可视为特例。一个焦点是具有“薄”渐近边界的凸域，例如拟圆——此部分问题与Kleinian群理论密切相关。第二个方向是具有“厚”理想边界的凸子集，例如圆盘的不交并——此处可发现与复分析问题的联系，如Koebe圆域猜想。第三个方向是HH^3中无限面积的完备凸圆盘及双曲末端中的曲面——与双曲圆盘上圆填充或嫁接问题相关。在反德西特几何（双曲几何的洛伦兹表亲，其中可能出现有趣新现象）以及Minkowski和Half-pipe几何中提出了类似表述。我们也收集了一些主要基于近期工作的部分新结果。