双曲三维空间中无界凸域的 Weyl 问题

设 $K\subset \HH^3$ 为 $\HH^3$ 中具有光滑、严格凸边界的凸子集。此时 $\partial K$ 上的诱导度量具有曲率 $K>-1$。Alexandrov 证明了若 $K$ 有界，则它由边界上的诱导度量唯一确定，且任意曲率 $K>-1$ 的光滑度量均可实现。本文提出将该结果存在性部分推广至 $\HH^3$ 中的无界凸域。显然，此时 $\partial K$ 上的诱导度量不足以确定 $K$。但可考虑边界上包含 $K$ 的理想边界的更丰富数据。具体而言，我们考虑由 $K$ 边界上的完整共形结构（在 $\HH^3$ 的 Poincaré 模型中）与 $\partial K$ 上的诱导度量所组成的数据。我们证明，满足温和曲率条件的此类“合理”数据的一个广泛范围，均可在 $\HH^3$ 中某凸子集的边界上实现。