常高斯曲率的多面体
微分几何
2025-12-23 v1 几何拓扑
摘要
拓扑学与几何学在曲面研究中存在深刻的交织，但其相互作用在光滑与离散场景中表现不同。在光滑范畴中，经典结果表明，任何嵌入 的闭合光滑曲面若具有常数高斯曲率，必为球面，这反映了微分几何的强刚性。在 contrast 中，离散场景中，曲率以顶点处的角度缺失形式呈现，具有更大的灵活性。例如，平坦的环面可作为每个顶点处曲率为零的多面体曲面在 中实现。我们建立了一个一般性结果：任何闭合曲面（无论是否可定向以及任意生成数），均可在 中实现为（可能自相交的）多面体曲面，且每个顶点的角度缺失相同。这突显了离散与光滑场景之间的根本区别，表明离散领域的曲率约束施加的限制更少。我们的证明是构造性的且一旦被认识，便完全 elementary。然而，这一基本事实似乎在现有文献中未被注意到。
引用
@article{arxiv.2512.19106,
title = {Polyhedra of Constant Gaussian Curvature},
author = {Soto Hisakawa and Shizuo Kaji and Ryo Kawai},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.19106},
year = {2025}
}