多面体顶点星的高斯映射

在离散微分几何中，普遍认为多面体顶点星的离散高斯曲率等于其高斯像的代数面积。然而，至今尚无完整的证明。我们给出一个初等证明，其中针对一个特定的法向量，比较其绕高斯像及其对径点的卷绕数与它的临界点指标。该指标与高斯映射的法向度密切相关。我们推导出拐点面的数量如何与高斯像中正、负分量的数量相关联。所得公式极大地限制了多面体顶点星高斯像的可能形状。例如，若一个三角剖分的顶点星处于一般位置且其高斯像无自交，则当曲率为正时，它是一个凸球面多边形；当曲率为负时，它是一个球面伪四边形。