双曲 3-空间中无限圆模式与凸多面体的刻画

自 Thurston 开创了圆填充 (abbr. CP) 与三维几何拓扑之间的联系以来，CP 与双曲多面体的刻画变得日益深刻。已取得了一些里程碑式的成果，例如 Rodin-Sullivan \cite{Rodin-Sullivan} 和 Schramm \cite{schramm91} 证明了交角 $\Theta=0$ 的无限 CP 的刚性。Rivin-Hodgson \cite{RH93} 完整刻画了 $\mathbb{H}^3$ 中紧凸多面体的存在性与刚性。He \cite{He} 证明了 $0\leq\Theta\leq \pi/2$ 的无限 CP 的刚性与单值化定理。因此，剩余未解决的问题是 $0\leq\Theta<\pi$ 的无限 CP 以及无限双曲多面体的刚性与单值化定理。事实上，He 在 \cite{He} 的摘要中特别声称“在未来的论文中，本文的技术将被推广到 $0\leq\Theta<\pi$ 的情形。特别地，我们将展示 3 维双曲空间中一类无限凸多面体的刚性”。本文的目标是通过证明 $0\leq\Theta<\pi$ 的无限 CP 以及无限三价双曲多面体的刚性与单值化定理，来完成 \cite{He} 中所声称的工作。我们将特别关注接触图为圆盘三角剖分图的 CP。此类 CP 被称为正则的，因为它们排除了某些奇异构型且与双曲多面体对应良好。我们将建立无限正则 CP 的存在性与刚性。此外，我们将证明正则 CP 的单值化定理，从而解决正则 CP 的分类问题。由此，得到了无限凸三价多面体的存在性与刚性。