Borel 有向图（其二色数至少为三）无可数基

我证明了顶点集可划分为两个 Borel 无环集的 Borel 有向图构成一个 $\mathbf\Sigma^1_2$-完备集；等价地，判定一个 Borel 有向图是否具有至少 3 的 Borel 二色数是一个 $\mathbf\Pi^1_2$-完备问题。由此可知，在 Borel 同态下，没有任何可数的 Borel 有向图族可以作为该类的基，更一般地，任何基必须至少与 $\mathbf\Pi^1_2$ 一样复杂。该证明利用 Thornton 的编码框架，将 Bokal、Fijavž、Juvan、Kayll 和 Mohar 的经典 NP-完备性归约提升到 Borel 设定中。结合从无向到有向着色问题的直接归约，这完成了有限 Borel 色数和二色数阈值的完整图景：对于每个有限的 $k$，允许 Borel $k$-(di)着色的 Borel（有向）图集合是 $\mathbf\Sigma^1_2$-完备的，特别是没有可数基。这与不可数阈值形成对比，在不可数阈值下，Borel 色数存在单元素基（Kechris–Solecki–Todorčević），Borel 二色数存在连续统大小的基（Raghavan–Xiao）。