关于有向图着色与顶点森林数的复杂性

Bokal 等人已证明判定有向图 2-可着色是 NP 完全问题。该结果后来被 Feder 等人推广,证明判定有向图是否具有圆形 $p$-着色对所有有理数 $p>1$ 均为 NP 完全。本文考虑有向图与图的相关分数着色概念(包括星双色数、分数双色数与圆形顶点森林数)对应判定问题的复杂性。我们证明如下结果:判定有向图的星双色数不超过 $p$ 对所有有理数 $p>1$ 是 NP 完全的;判定有向图的分数双色数不超过 $p$ 对所有 $p>1, p \neq 2$ 是 NP 完全的;判定图的圆形顶点森林数不超过 $p$ 对所有有理数 $p>1$ 是 NP 完全的。为得到这些结果,每种情形均需不同技巧。为证明第一个结果,我们将星双色数与有向图间称为圆形同态的新同态概念相联系,这或许具有独立意义。我们给出了相应同态着色问题计算复杂性的分类,类似于 Feder 等人对无环同态所得的分类。