非交换几何中 Yang--Mills 异常的下降方程

考虑由 Zumino 下降方程 $\delta\om_{2n-k}^{k-1}+\dd\om_{2n-k-1}^{k}=0$ 从 $2n$ 维流形上主 $\SU(N)$ 丛的 Chern 特征 $Ch_{2n}=\dd\om_{2n-1}^{0}$ 开始集体描述的协调 Yang--Mills 异常 $\int\om_{2n-k}^{k-1}$（$n\in\N$，$k=1,2, \ldots ,2n$）（即 $\int\om_{2n-k}^{k-1}$ 是 $(2n-k)$ 维中的 Chern--Simons 项（$k=1$）、轴子异常（$k=2$）、Schwinger 项（$k=3$）等）。找到了在 Connes 非交换几何精神下使用最少数据的推广。对于任意分次微分代数 $\CC=\bigoplus_{k=0}^\infty \CC^{(k)}$ 及其外微分 $\dd$，构造了形式值函数 $Ch_{2n}: \CC^{(1)}\to \CC^{(2n)}$ 与 \om_{2n-k}^{k-1}: \underbrace{\CC^{(0)}\times\cdots \times \CC^{(0)}}_{\mbox{{\small (k-1) 次}}} \times \CC^{(1)}\to \CC^{(2n-k)}，它们由广义下降方程 $\delta\om_{2n-k}^{k-1}+\dd\om_{2n-k-1}^{k}=(\cdots)$ 联系。此处 $Ch_{2n}= (F_A)^n$，其中对 $A\in\CC^{(1)}$ 有 $F_A=\dd(A)+A^2$，且 $(\cdots)$ 非零而是分次交换子的和，在积分（迹）下为零。从而在给定的分次微分代数上构造 Yang--Mills 异常的问题归结为在其上寻找有趣的积分 $\int$。给出了具有此类积分的分次微分代数例子，并由此找到了 Yang--Mills 异常的非交换推广。