广义矩阵函数在所有对称矩阵集合上的相等性

广义矩阵函数 $d_\chi^G : M_n(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ 是由 $S_n$ 的子群 $G$ 和 $G$ 的复值函数 $\chi$ 构造的函数。本文的主要目的是找出两个广义矩阵函数在所有对称矩阵集合 $\mathbb{S}_n(\mathbb{C})$ 上相等的充要条件。为实现此目的，构造了一个对称矩阵 $S_\sigma$ 并对每个 $\sigma \in S_n$ 计算了 $d_\chi^G(S_\sigma)$。通过应用 $d_\chi^G(S_\sigma)$ 的值，证明了对于每对 $A, B \in \mathbb{S}_n(\mathbb{C})$，$d_\chi^G(AB) = d_\chi^G(A)d_\chi^G(B)$ 当且仅当 $d_\chi^G = \det$。此外，建立了关于每对 $A, B \in \mathbb{S}_n(\mathbb{C})$ 满足 $d_\chi^G(AB) = d_\chi^G(BA)$ 的判据。