$G$-不变与反对称函数的统一 $\mathcal{C}^k$ 逼近、嵌入维数及多项式表示

对于 $n$ 个符号上的对称群 $\mathcal{S}_n$ 的任意子群 $G$，我们给出了利用 $G$-不变多项式对 $G$-不变函数进行统一 $\mathcal{C}^k$ 逼近的结果。针对全对称函数的情形（$G = \mathcal{S}_n$），我们证明了这导出了 Zaheer 等人 (2018) 提出的 sum-decomposition Deep Sets 假设，其中内部函数和外部函数均可选为光滑函数，且内部函数的选择可独立于被逼近的目标函数。特别地，我们证明了所需的嵌入维数独立于目标函数的正则性、期望的逼近精度以及 $k$。接下来，我们展示了一种类似的过程，可用于获得反对称函数的统一 $\mathcal{C}^k$ 逼近，将其表示为 $K$ 项之和，其中每一项均为一个光滑全对称函数与一个次数至多为 $\binom{n}{2}$ 的光滑反对称齐次多项式的乘积。我们还提供了 $K$ 的上下界，并证明 $K$ 独立于目标函数的正则性、期望的逼近精度以及 $k$。