色对称函数的 e-基系数

Stanley 的一个著名结果表明，给定图 $G$，其色对称函数展开为初等对称函数基 $X_G = \sum c_{\lambda}e_{\lambda}$，则对满足 $\lambda_1' = k$（等价地，恰有 $k$ 个部分的那些 $\lambda$）的 $\lambda$，系数 $c_{\lambda}$ 之和 equal to $G$ 恰有 $k$ 个汇的无环定向数。然而，已知更多。图 $G$ 的无环定向的汇序列是一个元组 $(s_1,\dots,s_k)$，使得 $s_1$ 为该定向的汇数，且递归地每个 $s_i$（$i > 1$）为删去贡献于 $s_1,\dots,s_{i-1}$ 的汇后剩余的汇数。等价地，汇序列给出了由无环定向诱导的偏序集中每一层的顶点数。Stanley 一个鲜为人知的后续结果确定了某些情形，其中我们可找到 $e$-基系数之和给出具有给定部分汇序列的 $G$ 的无环定向数。这本身令人关注，该结果也作为一个推论给出了当 $G$ 的稳定数为 $2$ 时 $X_G$ 的 $e$-正性的简单证明。在本文中，我们证明了该后续结果的一个顶点加权推广，并猜想了一个更强的版本，其对色对称函数更大一组 $e$-系数和给出类似的组合解释。特别地，所猜想的公式将对任意无权无爪图（不一定是如 Stanley-Stembridge 猜想设定中的不可比图）的具有规定 $\lambda_1'$ 与 $\lambda_2'$ 值的系数 $c_{\lambda}$ 之和给出组合解释。