Kromatic 对称函数：$X_G$ 的 $K$ 理论类比

Schur 函数是对称函数环的一组基，表示 Grassmannian 的 Schubert 上同调类。将上同调环替换为 $K$-理论，便得到丰富的非齐次形变的组合理论，其中 Schur 函数被其 $K$-类比——对称 Grothendieck 函数基所取代。我们引入并开创 Kromatic 对称函数 $\overline{X}_G$ 的理论，它是图 $G$ 的色对称函数 $X_G$ 的 $K$-理论类比。Kromatic 对称函数是关于图着色的生成级数，其中顶点可被分配任意非空互异颜色集合，且相邻颜色集合不相交。我们的主要结果将 Gasharov（1996）的一个定理提升到该情形，表明当 $G$ 是无爪不可比图时，$\overline{X}_G$ 是对称 Grothendieck 函数的正和。该结果暗示了 Gasharov 定理的拓扑解释。随后我们证明路径图的 Kromatic 对称函数在对称函数的 $e$-基的若干 $K$-类比中均非正，表明 Stanley-Stembridge 猜想（1993）并不具有到 $K$-理论的此类提升，因此不太可能适用于拓扑视角。我们还定义了 $\overline{X}_G$ 的带顶点权重推广，并证明其满足删除—收缩关系。最后，我们给出了 $X_G$ 的经典单项基展开式在 $\overline{X}_G$ 上的 $K$-类比。