色谱对称函数在 $\textsf{NSym}$ 中的提升

如果我们考虑对斯坦利的色谱对称函数 $X_{G}(x_1, x_2, \ldots)$ 对图 $G$ 的之前引入的扩展，映射到准对称函数代数 $\textsf{QSym}$ 中的元素以及在非交换变量中对称函数代数 $\textsf{NCSym}$ 中的元素，这会激励我们引入将 $X_{G}$ 提升到 $\textsf{QSym}$ 的对偶代数中，即非交换对称函数代数 $\textsf{NSym}$ 的元素，与 $\textsf{NCSym}$ 不同。对于一个无标签有向图 $D$，我们对色谱对称函数的扩展为 $\textsf{NSym}$ 中的元素 $\text{{X}}_{D}$，而与斯坦利的功率和展开相比，由于Gebhard和Sagan的 $Y_{G} \in \textsf{NCSym}$，我们的构造如此之一，以至于 $G$ 表示 $D$ 所对应的无向图。我们的构造使得 $\text{{X}}_{D}$ 的交换映像是 $X_{G}$。通过将斯坦利的功率和展开提升到 $\textsf{NSym}$ 的 $\Psi$ 基中，以实现由 $D$ 的有向边排序决定的索引复合词的顺序。我们随后构建了包含形式为 $\text{{X}}_{D}$ 的 $\textsf{NSym}$ 的生成集，旨在建立Cho和van Willigenburg在 $\textsf{Sym}$ 中的色谱生成集方面的工作。