Stanley色对称函数的一个有根变体

Richard Stanley定义了图$G$的色对称函数$X_G$，并问是否存在非同构树$T$与$U$使$X_T=X_U$。我们研究有根图的色对称函数变体，其中要求根顶点使用或避开指定颜色。我们给出这些有根色多项式满足的组合恒等式与递归，阐释其与指向色函数及有根$U$-多项式的关系，并证明三个主要定理。第一，对所有非空连通图$G$，Stanley多项式$X_G(x_1,\ldots,x_N)$在$\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_N]$中对足够大$N$不可约。我们根变体（根节点须避开指定颜色）同结论。我们用Eisenstein判别法的新颖组合应用证不可约性。第二，证Stanley猜想的有根版本：两有根树作为有根图同构当且仅当其有根色多项式相等。事实上，我们证有根色多项式的单变量特化（令$x_0=x_1=q$，$x_2=x_3=1$，$x_n=0$对$n>3$）已区分有根树。第三，我们借组合解释指向色函数单项式展开，回答Pawlowski一问。