非交换对称函数

本文基于拟行列式的概念，提出了对称函数的非交换理论。我们从形式理论出发，对应于无限多个独立变量情况下的对称函数。这使得我们能够赋予所得代数以 Hopf 结构，从而为下降代数中的计算提供了一种新方法。它也对许多经典构造给出了统一的重新解释。接下来，我们研究对称多项式的非交换类比。根据所考虑的具体应用类型，会得到不同的构造。例如，当一个中心变量中具有非交换系数的多项式被分解为线性因子的乘积时，这些因子的根与展开后多项式的根不同。因此，根据人们是关注于构造具有给定根的多项式，还是关注于线性因子乘积的展开，必须考虑形式对称函数的两种不同特化。当人们寻找与矩阵特征多项式概念相关的应用的非交换推广时，会出现第三种类型。这种构造可以应用于例如由通用包络代数 $U(gl_n)$ 的生成元构成的非交换矩阵。