广义可熔数及其序数

Erickson 将可熔数定义为通过对函数 $\frac{x+y+1}{2}$ 重复应用而生成的一组实数 $\mathcal F$。Erickson、Nivasch 和 Xu 证明了 $\mathcal F$ 是良序的，其序型为 $\varepsilon_0$。他们还研究了一个递归定义的函数 $M\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$。他们证明了 $M$ 的不连续点集是 $\mathcal F$ 的一个子集，其序型为 $\varepsilon_0$。他们还证明了，尽管 $M$ 是 $\mathbb R$ 上的全函数，但 $M$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的限制为全函数这一事实在一阶 Peano 算术 $\mathsf{PA}$ 中不可证。本文中我们探讨（由 Friedman 提出）类似方法是否能产生具有更大序型的良序集 $\mathcal F$ 这一问题。正如 Friedman 所指出的，Kruskal 树定理为任何通过单调函数 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 重复应用类似方式生成的集合的序型给出了小 Veblen 序数的上界。将 $\frac{x+y+1}{2}$ 最直接地推广到 $n$ 元函数是函数 $\frac{x_1+\cdots+x_n+1}{n}$。我们证明了该函数生成了一个集合 $\mathcal F_n$，其序型恰为 $\varphi_{n-1}(0)$。为此，我们发展了递归定义的函数 $M_n\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$，自然地推广了函数 $M$。此外，我们证明了对于任意线性函数 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$，所得 $\mathcal F$ 的序型至多为 $\varphi_{n-1}(0)$。最后，我们证明了确实存在连续函数 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$，其生成的集合 $\mathcal F$ 的序型可逼近小 Veblen 序数。