序数理论与实数上的递归定义函数

我们确定了某些递归定义函数对所有实数输入均良定义的充分条件。给定函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$,若递减序列 $x_1>x_2>x_3>\cdots$ 满足 $f(x_1)>f(x_2)>f(x_3)>\cdots$,则称其为“$f$-坏”序列;若不存在无限 $f$-坏序列,则称函数 $f$ 为“序数递减”的。我们证明如下结果:给定处处大于 $0$ 的序数递减函数 $f,g_1,\ldots,g_k,s$,定义递归算法“$M(x)$:若 $x<0$ 则返回 $f(x)$,否则返回 $g_1(-M(x-g_2(-M(x-\cdots-g_k(-M(x-s(x)))\cdots))))$”。则对所有 $x \in \mathbb{R}$,$M(x)$ 停机且为序数递减的。Ericskon 等人(2022)与 Bufetov 等人(2024)分别在可熔数背景下研究的递归算法 $M$ 与 $M_n$ 是该格式的特例。此外,给定序数递减函数 $f$,以 $o(f)$ 记 $f$-坏序列之树的树根序数高度。则我们证明,对 $k\ge 2$,由上述算法定义的 $M(x)$ 满足 $o(M)\le\varphi_{k-1}(\gamma+o(s)+1)$,其中 $\gamma$ 是满足 $\max\{o(s),o(f),o(g_1), \ldots, o(g_k)\} <\varphi_{k-1}(\gamma)$ 的最小序数。