实现序数的全无序结构

我们提出了用于分析经典集合论可实现性模型中序数的工具，该模型是使用 Krivine 的可实现性技术构建的。该方法使用了 $ZF$ 的一个保守扩张，记作 $ZF_{\varepsilon}$，其中两种隶属关系共存：通常的记作 $\in$，以及更严格的记作 $\varepsilon$（不满足外延公理）；相应地，我们有两种相等关系：外延相等 $\simeq$ 与严格同一性 $=$（指满足相同公式的集合）。我们使用一个称为 reish 的算子定义了递归名字，并证明了序数的递归名字类与可实现性模型中的序数类在外延上重合。我们证明了 reish$(\omega)$ 在任何可实现性模型中都与 omega 外延相等，因此递归名字为在可实现性模型中计算 $\omega$ 提供了有用的工具。我们证明了相反地，$\varepsilon$-全序集并不构成一个真类，因此不能用于完全表示可实现性模型中的序数。最后，我们提出了一些在可实现性模型中保持基数的工具，包括可实现性代数中类似于被称为 $\kappa$-链条件的力迫性质的类似物。