q-划分估值：探索次可加与分数次可加估值之间的空间

对于具有 $m$ 个元素的集合 $M$，我们定义了一族从 $2^M$ 到 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 的规范化单调递增估值函数的递减类链，由整数 $q \in [2,m]$ 参数化。对于给定的 $q$，我们称该类为 $q$-划分。估值函数是次可加的当且仅当它是 $2$-划分的，是分数次可加的当且仅当它是 $m$-划分的。因此，我们的类链建立了次可加与分数次可加估值之间的插值。我们表明该插值是平滑的、可解释的且非平凡的。我们对所有 $q \in \{2,\ldots, m\}$ 分离次可加与分数次可加的先前结果进行了插值。两个亮点如下：（i）针对 $q$-划分估值的 $\Omega \left(\frac{\log \log q}{\log \log m}\right)$-竞争 posted price 机制。注意这与次可加（$q=2$）[DKL20] 和分数次可加（$q=m$）[FGL15] 的最先进水平渐近匹配。（ii）关于独立项上 $1$-Lipschitz、$q$-划分估值的两个上尾集中不等式。一个将 $q=m$ 的最先进水平扩展至 $q<m$，另一个对 $q>2$ 改进了 $q=2$ 的最先进水平。我们的集中不等式蕴含若干介于次可加与分数次可加之间的推论，例如：$\mathbb{E}[v(S)]\le (1 + 1/\log q)\text{Median}[v(S)] + O(\log q)$。为证明此，我们利用 Talagrand 的 $q$ 点控制方法开发了一个新的等周不等式，其可能具有独立意义。我们还讨论了 $q$-划分估值的其他概率不等式与博弈论应用，以及与次可加 MPH-$k$ 估值 [EFNTW19] 的联系。