特征值计数阶梯中的极值统计

我们考虑从 CUE$_{\beta}(N)$ 抽取的随机酉矩阵的特征值 $e^{i \theta_j}$ 在区间 $\theta_j \in [\theta_A,\theta]$ 内的数目 ${\cal N}_{\theta_A}(\theta)$。其与均值的偏差 ${\cal N}_{\theta_A}(\theta) - \mathbb{E}({\cal N}_{\theta_A}(\theta))$ 作为 $\theta$ 的函数构成一个随机过程。我们通过利用到对数相关随机地形的统计力学的映射来研究该过程的最大值。借助 Toeplitz 行列式的扩展 Fisher-Hartwig 猜想，并辅以对数相关场的冻结对偶猜想，我们得到了任意 $\beta>0$ 时该最大值分布的累积量。它表现出标准费米子（在 $\beta=2$ 时自由，在 $\beta\ne 2$ 时具有 Sutherland 型相互作用）在区间内的计数统计与 Hurst 指数 $H=0$ 的分数布朗运动极值统计的综合特征。$\beta=2$ 的结果预期适用于黎曼 zeta 函数零点的统计。