布朗分叉连接队列中延迟的尾部渐近性

在本文中，我们研究当 $N\to\infty$ 时 $\max_{i\leq N}\sup_{s>0}\left(W_i(s)+W_A(s)-\beta s\right)$ 的尾部行为，其中 $(W_i,i\leq N)$ 为独立同分布的布朗运动，$W_A$ 为独立的布朗运动。该随机变量可视为 $N$ 个相互依赖的布朗队列的最大值，进而可解释为布朗分叉连接队列中的积压。在先前的工作中，我们已证明该随机变量以 $\frac{\sigma^2}{2\beta}\log N$ 为中心。此处，我们分析该随机变量达到值 $(\frac{\sigma^2}{2\beta}+a)\log N$（其中 $a>0$）的稀有事件。结果表明，其概率关于 $N$ 大致表现为幂律形式，指数依赖于 $a$。然而，在临界点 $a^{\star}$ 附近存在三种情形：即 $0<a<a^{\star}$、$a=a^{\star}$ 和 $a>a^{\star}$。后一种情形表现出一种渐近独立性，而第一种情形揭示了高度不规则的行为，在 $N$ 个上确界间存在明显的依赖结构，并在 $a=a^{\star}$ 处发生非平凡转变。