队列上的指数尾界:非渐近重交通与大偏差的交汇

一般而言,获得队列长度的精确稳态分布是不可行的。因此,我们建立队列长度尾概率的界。具体地,我们考察重交通(HT)条件下的排队系统,并给出概率 $\mathbb P(\epsilon q > x)$ 的指数衰减界,其中 $\epsilon$ 为 HT 参数,表示负载距最大允许负载的偏离程度。我们的界不限于渐近情形,即便对有限的 $\epsilon$ 值也适用,且随 $\epsilon \to 0$ 而变得更紧。由此,我们导出尾概率的非渐近收敛速率。与基于漂移论证的矩界以及利用 Stein 方法的 Wasserstein 距离界等不同,我们的方法给出更紧的尾界。此外,我们的结果给出了尾指数衰减率的界,由对任意有限 $x$ 值定义的 $-\frac{1}{x} \log \mathbb P(\epsilon q > x)$ 给出,可解释为大偏差(LD)结果的非渐近版本。我们通过给出以下系统的尾界来展示方法:(i) 连续时间最短队列(JSQ)负载均衡系统,(ii) 离散时间单服务器队列,以及 (iii) $M/M/n$ 队列。我们不仅弥合了经典 HT 与 LD 机制之间的鸿沟,还探索了 JSQ 和 $M/M/n$ 系统的大系统 HT 机制,其中系统规模与系统负载同时增长。我们的结果也填补了现有文献中关于 JSQ 在超 NDS(又称超 slowdown)机制下极限分布的空白,该贡献本身具有独立意义。此处关键要素是通过设计用于逼近 $\ell_{\infty}$ 范数的指数 Lyapunov 函数,对 JSQ 系统的状态空间坍缩给出了更精细的刻画。