Halfin-Whitt regime 下最短队列优先的扩散极限：尾渐近与极值缩放

考虑一个由 $N$ 个并行单服务台队列组成的系统，其服务时间分布为单位指数分布，并设单个调度器，任务按速率 $\lambda(N)$ 的泊松过程到达。任务到达时，调度器依据最短队列优先（JSQ）策略将其分配给某一服务台。Eschenfeldt 与 Gamarnik（2015）证明，在 Halfin-Whitt regime 下，即当 $N\to\infty$ 时 $(N-\lambda(N))/\sqrt{N}\to\beta>0$，JSQ 策略下系统的适当缩放占用测度在任意有限时间区间上弱收敛于某扩散过程。近来 Braverman（2018）进一步确立系统平稳占用测度当 $N\to\infty$ 时弱收敛于该扩散过程的稳态。本文对上述扩散过程的稳态进行详细分析。具体而言，我们建立了平稳分布的精确尾渐近以及过程在大时间区间上极值的缩放。我们的结果表明，渐近平稳状态下队列长度不小于 2 的缩放服务台数呈现指数尾，而空闲服务台数则为高斯型。从方法论角度看，所考虑的扩散过程超越了扩散过程稳态研究中的现有技术水平。稳态无任何闭式表达，且过程动态对其局部时间的复杂相互依赖使分析极具挑战。我们发展了结合再生过程理论的技术，给出平稳测度的易处理形式，并与若干精细命中时估计相结合，成为确立结果的关键工具。