二维离散时间 QBD 过程中任意方向平稳尾概率的精确渐近性

我们研究 $\mathbb{Z}_+^2\times S_0$ 上的离散时间二维拟生灭过程（简称 2d-QBD 过程），其中 $S_0$ 为有限集，并给出任意方向平稳尾概率的渐近衰减函数的完整表达式。2d-QBD 过程是一类带背景过程的四分之一平面上的随机游动。在我们之前的论文（Queueing Systems, vol. 102, pp. 227-267, 2022）中，我们已获得任意方向平稳尾概率的渐近衰减率，并阐明若渐近衰减率 $\xi_{\boldsymbol{c}}$（其中 $\boldsymbol{c}$ 为 $\mathbb{N}^2$ 中的方向向量）小于某定值 $\theta_{\boldsymbol{c}}^{max}$，则方向 $\boldsymbol{c}$ 上的平稳尾概率序列渐近地无幂项几何衰减。本文给出该序列渐近衰减所依的函数，包括 $\xi_{\boldsymbol{c}}=\theta_{\boldsymbol{c}}^{max}$ 的情形。当 $\xi_{\boldsymbol{c}}=\theta_{\boldsymbol{c}}^{max}$ 时，除两个边界情形（其仅由无幂项的指数函数给出）外，该函数由带幂项 $k^{-\frac{1}{2}}$ 的指数函数给出。此结果与非背景过程的四分之一平面随机游动已有结果一致，后者由 Malyshev（Siberian Math. J., vol. 12, pp. 109-118, 1973）获得。