随机游走最大值的重交通与重尾

考虑一族随机游走 $S_n^{(a)}=X_1^{(a)}+\cdots+X_n^{(a)}$，其具有负漂移 $\mathbf E X_1^{(a)}=-a<0$ 和有限方差 $\mbox{var}(X_1^{(a)})=\sigma^2<\infty$。令 $M^{(a)}=\max_{n\ge 0} S_n^{(a)}$ 为随机游走的最大值。Kingman 发现了指数渐近线 $\mathbf P(aM^{(a)}>x)\sim e^{-2x/\sigma^2}$（当 $a\to 0$ 时），这在排队论中被称为重交通近似。对于次指数随机变量，大偏差渐近线 $\mathbf P(M^{(a)}>x)\sim \frac{1}{a}\overline F^I(x)$ 在固定 $a$ 且 $x\to\infty$ 时成立。在本文中，我们提出了 $\mathbf P(M^{(a)}>x)$ 的渐近线，其在 $a\to 0$ 时在整个正轴上一致成立。因此，这些一致渐近线同时包含了正态偏差和大偏差机制。我们确定了指数或次指数渐近线成立的区域。我们的方法基于构造相应的上/下鞅以获得尖锐的上下界。