带常值漂移的随机游走与 Lévy 飞行的期望最大值渐近性

在本文中，我们研究线上 $n$ 步随机游走/Lévy 飞行（由 Lévy 指数 $1<\mu\leq 2$ 刻画）在存在常值漂移 $c$ 时，其期望最大值的大 $n$ 渐近性。对于 $0<\mu\leq 1$，即便 $n$ 取有限值，期望最大值也是无穷的。对于 $1<\mu\leq 2$，我们获得了大 $n$ 下期望最大值渐近展开中所有不消失的项。对于 $c<0$ 且 $\mu=2$，期望最大值随 $n$ 增大趋于一个非平凡常数；而对于 $1<\mu<2$，其以幂律 $\sim n^{2-\mu}$ 增长。对于 $c>0$，期望最大值的渐近展开可通过在 $c<0$ 情形上加上线性漂移项 $cn$ 简单关联，使得主导项如预期般在大 $n$ 下线性增长。最后，我们推导出一个在 $c=0$ 与 $c\ne 0$ 情形间平滑插值的标度形式。这些结果由数值模拟充分证实，与我们的解析预测高度吻合。