带恒定漂移的随机游走与 Lévy 飞行的 Smoluchowski 通量与 Lamb-Lion 问题

我们考虑非相互作用粒子（或狮子）在一维随机游走或 Lévy 飞行（Lévy 指数 $1 < \mu \leq 2$）中受到恒定漂移 $c$ 的情形。初始时这些随机游走者均匀分布在正实轴 $z\geq 0$ 上，密度为 $\rho_0$。在原点 $z=0$ 处有一个静止的吸收陷阱（或羊），当粒子穿过原点时即被吸收。我们的主要关注点为（i）系统流出的粒子通量 $\Phi_c(n)$（“Smoluchowski 问题”）以及（ii）直至第 $n$ 步时陷阱或羊的存活概率 $S_c(n)$（“lamb-lion 问题”）。我们证明这两个可观测量均可由单个随机游走或 Lévy 飞行经过 $n$ 步后的平均最大值 $\mathbb{E}[M_c(n)]$ 表示。这使我们能在两个问题中对任意 $1<\mu\leq 2$ 与 $c \in {\mathbb{R}}$ 解析地获得大 $n$ 时 $\Phi_c(n)$ 与 $S_c(n)$ 的精确渐近行为。特别地，对于 $c>0$，我们展示了一个相当反直觉的结果：当 $1< \mu < 2$ 时，$S_{c>0}(n \to \infty)$ 以 $S_{c>0}(n \to \infty) \approx \exp\left(-\lambda \, n^{2-\mu}\right)$ 方式趋于零，其中 $\lambda$ 为依赖于 $\mu$ 的正常数；而对于标准随机游走（即 $\mu = 2$），$S_{c>0}(n \to \infty) \to K_{RW} > 0$，正如预期。我们的解析结果得到了数值模拟的证实。