带漂移的跳跃过程的第一到达性质. 两个恰好可求解的案例

我们研究带常数漂移的跳跃过程的第一到达性质，关注两个关键可观测量：首次到达时间 $\tau$ 和首次到达事件前的跳跃次数 $n$。通过将问题映射到有效离散时间随机游走，我们利用广义 Pollaczek-Spitzer 公式推导出 $\tau$ 和 $n$ 联合分布拉普拉斯变换的精确表达式。随后用于分析两个恰好可求解的案例的首到达性质：(i) 跳跃间隔和跳跃幅度均服从指数分布，(ii) 跳跃间隔服从指数分布而所有跳跃均具有相同的固定幅度。我们证明存在两种由漂移强度决定的不同制度：(i) 存活制度，其中过程以有限概率保持正值；(ii) 吸收制度，其中首次到达最终发生；以及 (iii) 两种相位之间的临界点。我们描述了存活概率在每个制度下的渐近行为：在存活制度中呈指数衰减趋于常数，在吸收制度中呈指数快速消失，在临界点 exhibits 幂律衰减。此外，在吸收制度中，我们推导出 $\tau$ 和 n 的边际分布的大偏差形式。通过大规模数值仿真验证了解析预测结果。