某些高斯随机多项式的尖锐交叉的平均数目

设 $Q_n(x)=\sum_{i=0}^{n} A_{i}x^{i}$ 为随机代数多项式，其中系数 $A_0,A_1,...$ 构成中心化高斯随机变量序列。此外，假设增量 $\Delta_j=A_j-A_{j-1}$，$j=0,1,2,...$ 相互独立，并令 $A_{-1}=0$。这些系数可视为布朗运动的 $n$ 个连续观测值。我们得到了多项式 $Q_n(x)$ 的 u-尖锐交叉期望数的渐近性态。所谓 u-尖锐交叉，是指斜率大于 $u$ 的零上穿，或斜率小于 $-u$ 的零下穿。我们分别考虑了 $u$ 无界且随 $n$ 增大、 $u=o(n^{5/4})$ 以及 $u=o(n^{3/2})$ 的情形。