多项式方程组的随机系统：光滑分析下的期望根数

我们考虑实数域上的随机方程组，包含 $m$ 个方程和 $m$ 个未知数 $P_i(t)+X_i(t)=0$，其中 $t\in\mathbb{R}^m$，$i=1,...,m$；这里 $P_i$ 是次数为 $d_i$ 的非随机多项式（“信号”），而 $X_i$ 是定义在 $\mathbb{R}^m$ 上的独立实值高斯中心随机多项式场（“噪声”），其概率律满足某些不变性性质。对于每个 $i$，$P_i$ 和 $X_i$ 具有相同的次数 $d_i$。本研究关注当 $m$ 很大时根数的行为。我们证明，在关于信噪比关系的特定条件下（这些条件意味着该关系在某种意义上既不过大也不过小），扰动系统的期望根数与中心系统（即对所有 $i=1,...,m$，$P_i$ 恒为零）的期望根数之比，随着 $m$ 趋于无穷大而几何快速地趋于零。特别地，这意味着该期望值的行为由噪声部分主导。