$E$-函数对数值的对数的超越性

设 $f$ 为一个 $E$-函数（Siegel 意义下），且不具有 $e^{\beta z}$（$\beta \in \overline{\mathbb{Q}}$）的形式，并设 $\log$ 表示复对数的任一固定分支。我们首先证明存在一个有限集合 $S(f)$，使得对所有 $\xi\in \overline{\mathbb{Q}}\setminus S(f)$，$\log(f(\xi))$ 是一个超越数。然后，当 $f$ 是具有有理系数的严格意义下的 $E$-函数时，我们通过在 $\xi\in \mathbb{Q}\setminus S(f)$ 且 $f(\xi)\gt0$ 时证明 $\ln(f(\xi))$ 的无理性度量，对该结果进行了量化。该度量意味着 $\ln(f(\xi))$ 不是 Marques 和 Moreira 所定义的超 Liouville 数。我们第一个结果的证明（事实上更为一般）特别使用了 Delaygue 的一个近期定理。第二个结果的证明独立于第一个结果，是具有有理系数的严格意义下线性无关 $E$-函数值的线性无关性度量的一个推论，与例如 Shidlovskii 经典度量中的情况不同，这里重点放在了高度以外的其他参数上。