刘维尔数的正弦、余弦、指数与对数

对于任意刘维尔数 $\alpha$，下列所有数均为超越数：$\textrm{e}^\alpha$、$\log_\textrm{e}\alpha$、$\sin \alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$、$\sinh\alpha$、$\cosh\alpha$、$\tanh\alpha$、$\arcsin\alpha$，以及所列三角与双曲函数在 $\alpha$ 处取值的反函数；需注意，凡涉及多值之处，每一个这样的值都是超越数。若将“刘维尔数”替换为“$U$-数”（其中 $U$ 为 Mahler 超越数分类之一），结论依然成立。