高斯刘维尔数及其相关数的超越性

刘维尔数 $l$ 定义为 $$l:=0.100101011101101111100...,$$ 其中第 $n$ 位由 ${1/2}(1+\gl(n))$ 给出；此处 $\gl$ 是关于 $n$ 的素因子个数奇偶性的刘维尔函数。刘维尔数很可能是超越数，但目前尚无证明方法。类似地，定义高斯刘维尔数 $$\gamma:=0.110110011100100111011...$$ 其中第 $n$ 位反映整除 $n$ 的有理高斯素数个数的奇偶性：偶数为 1，奇数为 0。本文证明了高斯刘维尔数及其相关数的超越性。其一个相关数是 $$\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{3^k}}{2^{3^k2}+2^{3^k}+1}=0.101100101101100100101...,$$ 其中第 $n$ 位由模 3 余 2 的素因子个数的奇偶性决定。我们使用了与 Dekking 证明 Thue–Morse 数超越性 [Dek1] 类似的方法，以及 Mahler 的一个定理 [Mahl1]。（为完整性，我们给出了所有所需结果的证明。）该方法涉及证明作为完全积性函数生成函数的形式幂级数的超越性。