刘维尔数的正规性与有限状态维数
信息论
2014-01-21 v2 math.IT
摘要
刘维尔数是第一类被证明为超越数的实数。构造非正规的刘维尔数很容易。Kano 和 Bugeaud 已使用解析技术证明了存在正规的刘维尔数。本文针对给定的基 k >= 2，给出正规于基 k 的刘维尔数的两种简单构造。第一种构造是组合的，基于 de Bruijn 序列。单位区间内的实数正规当且仅当其有限状态维数为 1。我们推广该构造以证明，对于闭单位区间内的任意有理数 r，存在有限状态维数为 r 的刘维尔数。这细化了 Staiger 关于刘维尔数集合具有构造性豪斯多夫维数零的结果，表明利用有限状态维数可以实现对刘维尔数的一种新的定量分类。在第二种数论构造中，我们利用数的一个算术性质——原根的存在性——在假定广义 Artin 原根猜想成立的前提下，构造在有限多个基下正规的刘维尔数。
引用
@article{arxiv.1204.4104,
title = {Normality and Finite-state Dimension of Liouville numbers},
author = {Satyadev Nandakumar and Santhosh Kumar Vangapelli},
journal= {arXiv preprint arXiv:1204.4104},
year = {2014}
}