有限态维数与 Davenport-Erdős 定理

Davenport 和 Erdős 于 1952 年的结果指出，如果 $p$ 是一个整数值多项式，那么实数 $0.p(1)p(2)p(3)\dots$ 在十进制下是 Borel 正规的。Nakai 和 Shiokawa 随后的结果将此结论推广至具有任意实数系数的多项式以及所有 $b\geq 2$ 的进制。众所周知，作为经典 Hausdorff 维数的有限态有效化，有限态维数将 Borel 正规序列精确地刻画为有限态维数为 1 的序列。对于一个无穷的自然数集合和一个 $b\geq 2$ 的进制，$A$ 的 $b$ 进制 Copeland-Erdős 序列 $CE_b(A)$，是将 $A$ 中数字的 $b$ 进制表示按递增顺序连接得到的无穷序列。在本工作中，我们研究了当 $p$ 为多项式时，$CE_b(A)$ 和 $CE_b(p(A))$ 的有限态维数之间可能存在的关系。我们证明，如果允许多项式具有任意实数系数，那么对于单位区间内的任意 $s,s^\prime$，存在一个自然数集合 $A$ 和一个线性多项式 $p$，使得 $CE_b(A)$ 和 $CE_b(p(A))$ 的有限态维数分别为 $s$ 和 $s^\prime$。我们同样给出了强有限态维数的相应结论。我们证明了具有有理数系数的线性多项式不会改变任何 Copeland-Erdős 序列的有限态维数，但对于每一个更高整数次数的多项式，都存在具有有理数系数的多项式能够改变某些序列的有限态维数。我们还证明了一个令人惊讶的事实：存在集合 $A$ 和整数值单项式 $p$，使得 $CE_b(A)$ 是正规的，但 $CE_b(p(A))$ 的有限态维数严格小于 1。