来自一个无害无理数定理的一些超越性结果

单变量某些函数值的算术性质，特别是 $\sin{z}$、$\cos{z}$、$\sinh{z}$、$\cosh{z}$、$e^z$ 和 $\ln{z}$，是数论中的一个重要课题。例如，对于所有非零代数 $z$（$\ln{z}$ 的情况 $z \ne 1$），这些函数都返回超越值。另一方面，对于某些数如 $e^e$、$\pi^e$、$\pi^\pi$、$\ln{\pi}$、$\pi + e$ 和 $\pi e$，甚至无理数证明都未知，尽管众所周知最后两个数中至少有一个是无理数。在这篇笔记中，我首先推导出这最后一个结果的一个更一般形式，表明任意两个超越数的和与积中至少有一个是超越数。然后我利用这一点证明，给定任意复数 $t \ne 0, 1/e$，数 $\ln{t}$、$t + e$ 和 $t e$ 中至少有两个是超越数。我还证明 $\cosh{z}$、$\sinh{z}$ 和 $\tanh{z}$ 对所有 $z = r \ln{t}$、$r \in \mathbb{Q}$、$r \ne 0$ 返回超越值。最后，我利用 Nesterenko 最近的一个代数独立性结果证明，对所有整数 $n > 0$，$\ln{\pi}$ 和 $\sqrt{n} \pi$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。