代数数在单位圆上参数的算术性质

无理数 $\theta$ 若满足存在 $c>0$ 和 $\tau < \infty$，使得对所有 $(p,q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ 都有 $\left| \theta - \frac{p}{q} \right| \ge \frac{c}{q^\tau}$，则称其为 Diophantine 数。本文研究了一些实数的 Diophantine 性质与超越性。通过对线性对数形式的下界估计，我们证明：若 $\beta \in \mathbb{C}$ 为代数数且 $|\beta|=1$ 且非根单位，则 $\frac{\operatorname{Arg}(\beta)}{2\pi}$ 为 Diophantine 数。我们还证明：若 $\beta = e^{i\alpha}$ 为代数数，则 $\frac{\alpha}{\pi}$ 要么为有理数，要么为超越数。由此得到：若整数 $n \ge 2$ 且 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 满足 $n \tan \alpha = \tan(n \alpha)$，则 $\frac{\alpha}{2\pi}$ 同时为 Diophantine 和超越数，且 $\alpha$ 为超越数。这扩展了 [V. Cyr, 关于平面曲线和平面碰撞动力学中出现的数论问题, Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), no. 9, 3035--3040] 的结果，后者证明了 $\frac{\alpha}{2\pi}$ 为无理数。