丢番图逼近与某些级数的收敛性

考虑两个级数 $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^n\pi\theta n}{n^\alpha},\quad\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos^n\pi\theta n}{n^\alpha}.$$ 我们证明当 $0<\alpha\leq 1$ 时，$\theta$ 的数论性质对收敛性有强烈影响。给出了 $\theta\in\mathbb Q$ 时的完整研究。对于无理数 $\theta$，我们证明了依赖于 $\theta$ 能被有理数逼近的程度（即其无理测度）的结果。我们得到若 $\alpha>\frac12$，则对几乎所有实数 $\theta$ 两个级数绝对收敛。最后，我们构造了一个这样的处处稠密集 $\theta$，使得当 $\alpha\leq 1$ 时两个级数均发散。