幂零李群的丢番图性质
群论
2015-06-24 v2 数论
摘要
若实李群 G 的一个有限生成子群 {\Gamma} 存在 \beta > 0，使得以单位元为中心的词球 B_\Gamma(n) 中的非平凡元素趋近 G 的单位元的距离从不小于 |B_{\Gamma} (n)|^{-\beta}，则称该子群为丢番图子群。若对于任意 k > 0，G 中的随机 k 元组均生成一个丢番图子群，则称李群 G 为丢番图李群。半单李群被猜想为丢番图李群，但在此方向上的证明极少。我们根据其李代数恒等式理想，给出了丢番图幂零李群的刻画。特别地，我们证明了阶数至多为 5 或导出长度至多为 2 的幂零李群，以及有理幂零李群均为丢番图李群。我们还发现存在非丢番图的幂零李群和可解（非幂零）李群。
引用
@article{arxiv.1307.1489,
title = {Diophantine properties of nilpotent Lie groups},
author = {Menny Aka and Emmanuel Breuillard and Lior Rosenzweig and Nicolas de Saxcé},
journal= {arXiv preprint arXiv:1307.1489},
year = {2015}
}
备注
33 pages. To appear in Compositio Mathematica. Added Theorem 1.4., which constructs examples, for each integer k, of a Lie group that is diophantine on k letters but not on k+1 letters