代数基下 Sturmian 数的超越性

我们考虑形如 $S_\beta(\boldsymbol{u}):=\sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{\beta^n}$ 的数，其中 $\boldsymbol{u}=\langle u_n \rangle_{n=0}^\infty$ 是二元字母表上的 Sturmian 序列，$\beta$ 是满足 $|\beta|>1$ 的代数数。我们证明每一个这样的数都是超越数。更一般地，对于给定的基 $\beta$ 与给定的无理数 $\theta$，我们刻画了形如 $\left\{ 1, S_\beta(\boldsymbol{u}^{(1)}),\ldots,S_\beta(\boldsymbol{u}^{(k)}) \right\}$ 的集合的 $\overline{\mathbb{Q}}$-线性独立性，其中 $\boldsymbol{u}^{(1)},\ldots,\boldsymbol{u}^{(k)}$ 为具有斜率 $\theta$ 的 Sturmian 序列。我们将主要结果应用于动力系统理论，表明对于具有代数斜率的单位圆上收缩旋转，其极限集要么有限，要么完全由除端点 $0$ 和 $1$ 外的超越元组成。这证实了 Bugeaud、Kim、Laurent 与 Nogueira 的一个猜想。