Legendre族中的同时挠点

我们改进了Masser和Zannier的一个结果，他们证明了集合 $$\{\lambda \in {\mathbb C} \setminus \{0,1\} : (2,\sqrt{2(2-\lambda)}), (3,\sqrt{6(3-\lambda)}) \in (E_\lambda)_{\text{tors}}\}$$ 是有限的，其中 $E_\lambda \colon y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$ 是椭圆曲线的Legendre族。更一般地，对于 $\alpha, \beta \in {\mathbb C} \setminus \{0,1\}$, $\alpha \neq \beta$，记 $T(\alpha, \beta)$ 为使得所有 $x$ 坐标为 $\alpha$ 或 $\beta$ 的点在 $E_\lambda$ 上都是挠点的 $\lambda \in {\mathbb C} \setminus \{0,1\}$ 的集合。根据Masser和Zannier的进一步结果，所有这些集合都是有限的。我们给出了一个相当初等的论证，表明所考虑的集合 $T(2,3)$ 实际上是空的。更一般地，当 $\alpha$ 和 $\beta$ 是代数数且不是2-adic接近时，我们得到了使得 $x$ 坐标为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的点同时为挠点的参数 $\lambda$ 集合的显式描述。我们还改进了Masser和Zannier关于 ${\mathbb Q}(\alpha, \beta)$ 的超越度为1的另一个结果。在这种情况下，我们证明 $\#T(\alpha, \beta) \le 1$，并且如果我们知道联系 $\alpha$ 和 $\beta$ 的不可约多项式，就可以判断该集合是否为空。这也给出了当 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是代数数时 $T(\alpha, \beta)$ 的更精确描述。我们进行了大量计算，支持若干猜想，例如，使得 $\#T(\alpha, \beta) \ge 3$ 的配对 $(\alpha, \beta)$ 应该只有有限多个。